CONSTRUÇÃO DO NÚMERO: UM DESAFIO PARA PROFESSORES E PARA CRIANÇAS DE 6 A 9

ANOS*

Juliana Laranjeira Pereira

Trabalho construído no Centro de Estudos e Pós-Graduação Olga Mettig -

Salvador-BA (professora do curso de especialização em psicopedagogia clínica

e institucional)

*Resumo:* Esse artigo aponta problemas de aprendizagem na construção do

conceito de número em alunos do Ensino Fundamental. Nele são apresentadas

teorias que propõem facilitar a compreensão da problemática da aprendizagem

do conceito de número, discutindo sobre questões das dificuldades no estudo

da matemática. Elas são resultantes da capacidade dos alunos ou de condução

no processo de aprendizagem?

*Unitermos:* Aprendizagem; Conceito de Número; Interacionismo.

*1. Introdução**

*Na prática como Psicopedagoga, foi-me oportunizada a escuta de depoimentos

de professores e de pais que reafirmam a crença sobre o desinteresse ou a

incapacidade de uma maioria de crianças no enfrentamento da aprendizagem da

matemática.

Tais afirmações contradizem e agridem a teoria do epistemólogo suíço Jean

Piaget (1978) quando garante que todo sujeito é capaz de aprender, desde que

não apresente lesão cerebral.

Nosso contexto escolar ainda assegura que o ensino da matemática nas escolas

públicas mantém o cenário configurado por visíveis dificuldades dos alunos,

repetidas queixas dos professores e contínua insatisfação dos pais. Nas

falas dos professores observa-se reclamações recorrentes relacionadas às

dificuldades na leitura/escrita, como também na construção do número. São

queixas nomeadas como um "defeito", ou culpa do aluno.

Nas minhas observações, pude apreender que os professores desenvolvem

atividades em sala de aula que não oportunizam a construção do conceito de

número. Essa realidade traduz condições inadequadas para a aprendizagem,

interferindo e comprometendo os conceitos matemáticos procedentes.

Nesse contexto questiono: os alunos não apresentam capacidade para

desenvolver conceitos ou não são adequadamente conduzidos a esta construção?

Carregam geneticamente esta dificuldade ou o dado da incidência das

dificuldades nos reporta às práticas pedagógicas inadequadas?

Para responder as questões acima foram utilizados conceitos e posições

teóricas dos autores: Piaget (1978), Becker (2001), Carreher (2001), Duhalde

e Cubere (1998) que fundamentaram e inauguraram a construção do conhecimento

no processo interacionista.

Com esse suporte teórico foram desenvolvidos nesse artigo os seguintes

itens: o principio interacionista e a teoria interacionista e o conceito de

número.

*2. O princípio interacionista.*

Para trabalhar com a construção do número no processo da aprendizagem da

criança, consideramos como ponto de partida que o professor deverá ter

apreendido o conhecimento de como a criança constrói o conhecimento de um

modo geral.

Piaget, expoente nessa área, dedicou-se a compreender como se dá a apreensão

do conhecimento, desde a mais tenra idade. Para ele, o processo se faz por

meio das mais variadas interações: o sujeito com a natureza, com ele mesmo,

com o outro e com a sociedade, sendo esse o princípio da interação. Com essa

crença, seus estudos se voltaram para o processo de construção do

conhecimento que se desencadeia na interação do indivíduo no contexto do

meio físico e sócio-histórico, isto é, nas relações em que o homem está

imerso.

Os pressupostos epistemológicos da construção do conhecimento, que

antecederam as abordagens de Piaget, são conhecidos como empirismo e

apriorismo. O empirismo, ou pedagogia diretiva contempla a gênese do

conhecimento como um processo de transmissão externa ao sujeito. Nele a

transmissão do conhecimento se dá através do meio externo, ou seja, o homem

é determinado pelo mundo do objeto. Tradicionalmente, esse conhecimento só é

considerado relevante quando transmitido como conteúdo formal. Nessa relação

o sujeito não interage com o objeto.

No apriorismo, ou pedagogia não diretiva, o conhecimento nasce com o

sujeito, imbricado em sua bagagem hereditária. Na sala de aula o professor é

apenas um auxiliar, o aluno é ativo e conduz o processo. Becker (2001)

critica essa pedagogia evidenciando o lugar do professor que renuncia ao seu

papel fundamental de intervenção na ação docente. Carl Rogers é o mais

conhecido defensor dessa posição desenvolvida na sua Teoria Humanista.

Nesses dois modelos o sujeito cognoscente não interage com o objeto

cognoscível.

Com o conhecimento crítico desses dois modelos, Piaget dedicou 60 anos de

sua vida em pesquisas para entender como o indivíduo constrói o

conhecimento, as fases pelas quais ele passa e como se processa esse

desenvolvimento. Este estudioso observou a importância dos modelos

anteriores, no entanto, discordou da possibilidade do conhecimento ser

produzido por apenas uma das instâncias, isto é, pelo determinismo cultural

ou pela liberdade de opção do sujeito.

No processo de produção e reprodução do conhecimento, Piaget prioriza a

relação de interação do sujeito que conhece com o objeto que quer conhecer

imersa num espaço/tempo de um determinado meio físico e sócio/cultural.

Tanto um quanto o outro estão em movimento (princípio dialético), um sofre a

ação do outro, para ele, só assim o conhecimento pode ser construído. Esta

implicação entre os sujeitos vai corresponder ao processo interacionista que

passa a ser o núcleo do conceito paradigmático de Piaget.

No interacionismo ou pedagogia relacional, Becker (2001) considera dois

processos em que o sujeito estará imerso na construção do conhecimento:

através da assimilação e através da acomodação. Por esses processos o autor

esclarece que o sujeito assimila e ao mesmo tempo "... produz transformações

no mundo objetivo, enquanto a dimensão da acomodação produz transformações

em si mesmo, no mundo subjetivo". (ibid., p.78) Ou seja, na assimilação o

sujeito demarca e modifica o objeto para conhecê-lo e na acomodação o

sujeito sofre a ação do objeto uma vez que o mesmo já faz parte do seu

mundo, portanto modifica-se para conhecer.

A separação desses processos é meramente didática e conceitual, pois são

ações constantes e interligadas entre o sujeito, o objeto e o espaço/tempo

dessa relação. O resultado é dinâmico e se traduz em conhecimento renovador

do sujeito e do objeto do conhecimento, sendo esse o motor reabastecedor do

desenvolvimento humano.

Esse princípio Piagetiano (1978) é fundamental para a epistemologia e para

os educadores em geral quando desvenda o processo da relação para apreensão

e produção do conhecimento. Piaget também afirma que o aprender constitui-se

na ação e na tomada de consciência da coordenação das ações, entendendo que

as aprendizagens não são realizadas em um processo linear, sim por

desequilíbrios. Para ele o sujeito desequilibra-se com o novo, que se

constitui numa estrutura desconhecida a ser assimilada, demandando do

sujeito um refazer continuum do conhecimento que já possuía com o que está

conhecendo, resultando na acomodação e retomando o equilíbrio.

Com essa mesma compreensão Becker (2001, p.28) analisa que a

... sala de aula não reproduz o passado pelo passado, mas debruça-se sobre

o passado porque aí se encontra o embrião do futuro. Vive-se intensamente o

presente à medida que se constrói o futuro, buscando no passado sua

fecundação. Dos escombros do passado delineia-se o horizonte do futuro;

origina-se, daí o significado que dá plenitude ao presente.

Nessa perspectiva, precisamos revolucionar as práticas pedagógicas em nossas

escolas. Mas entendemos que só poderá ocorrer uma mudança de posição na

prática do professor quando ele compreender a epistemologia que embasa a

teoria interacionista. Isto é, para o aluno aprender faz-se necessário

estabelecer a relação de interação entre o sujeito e o objeto do

conhecimento obedecendo a suas fases de desenvolvimento. Nela o

conhecimento não se constrói nem no meio físico/social nem no sujeito, sim

numa interação radical entre indivíduo e sociedade, organismo e meio, num

processo criador de rupturas com a unilateralidade da visão epistemológica

apriorista e empirista.

No processo de construção, Piaget (in Derval, 1998) compreende o indivíduo

em quatro fases de desenvolvimento: sensório-motor; pré-operatório,

operatório concreto, operatório formal. No entanto, observa que não há

rigidez cronológica na passagem de uma fase para outra. O avanço em cada uma

delas irá depender das relações que estabelecem entre si, isto é, no

contexto do sujeito imerso em sua história de múltiplos meios: físico e

sócio/cultural.

A primeira fase é caracterizada por atividades sensoriais e motoras, nas

quais a criança repete diversas vezes as mesmas ações, mas é graças a isso

que ela vai aprendendo novas condutas, reconhecendo os objetos ao redor e as

pessoas, assim desenvolvendo sua inteligência. A segunda fase é a

pré-operatória que compreende em média o período entre 2 a 7 anos. Neste

momento a criança deverá ser capaz de representar, ou seja, distinguir o

significado do significante, por exemplo: o sujeito passa a lidar com

objetos concretos no plano da representação mental.

Derval (supra, p.88) classifica o significante em três tipos: 1º - quando o

significado não está diferenciado do significante sendo compreendido como

indícios ou sinais; 2º - o significante diferencia-se do significado, são os

símbolos e o 3º - "... os signos são significantes totalmente diferenciados

dos seus significados.".

Essa possibilidade de usar "... significantes diferenciados do significado,

e as manifestações dessa capacidade..." (supra, p. 89), são chamadas de

funções semióticas. Essas funções são compreendidas em níveis de

complexidade distintos: 1º - imitação diferida que aparece no final do

período sensório-motor em que a criança imita, o pai ou um animal ou um

objeto, na ausência do modelo e após um intervalo de tempo; 2º - o jogo

simbólico, no qual a criança imita algo sem estar na presença ou sem ser em

uma situação verdadeira.

A terceira função é o jogo de regras que geralmente se desenvolve a partir

dos 6-7 anos; 4º - o desenho; 5º - são as imagens mentais com um caráter

interno. A sexta é a linguagem, sendo essa última representação da função

semiótica, considerada a mais complexa. Esse momento fantástico, se

apresenta por volta dos 2 anos, quando a criança consegue se comunicar com o

outro.

A fase pré-operatória é marcada pela aquisição da representação e da

linguagem. Neste momento a criança tem a capacidade de criar, construindo

seu mundo de fantasia, dando graça e magia às brincadeiras, que muitas vezes

o adulto não compreende. Outra característica é a não reversibilidade do

pensamento, ou seja, a criança não entende que uma dada situação pode

retornar a uma anterior, para ela o pensamento acontece em um sentido.

Na fase das operações concretas (7-11 anos), a criança começa a perceber que

a mudança parcial do objeto não compromete o objeto na sua totalidade,

permitindo aos poucos realizar operações de seriação e classificação, antes

impossíveis. (Ex.: objetos que apresentam diferenças, mas que podem ser

colocados em ordem ou serem agrupados os que se parecem)

Nesse momento a criança passa a realizar o processo de reversibilidade,

tanto por semelhança como por inversão, assim vai adquirindo a noção de

conservação de volume, massa e peso. (Ex.: O sujeito entende que se de Feira

de Santana para Salvador tem 110Km de Salvador para Feira de Santana também

tem 110Km)

No período das operações formais (11-12 anos), o adolescente possui a

capacidade de localizar o objeto em um contexto espaço-temporal, como também

classifica, organiza e ordena, contudo são operações situadas no aqui e

agora, ele ainda não realiza todas as combinações possíveis.

Na fase da adolescência, o ponto demarcador é o pensamento

hipotético-dedutivo, vez que já formulam hipóteses quando o adolescente

procura estabelecer um plano ordenado de ações lógicas até alcançar a

resposta desejada. (Derval, 1998)

Observamos que para o professor perseguir o fundamento desses estudos vai

ser-lhe requerido uma nova prática pedagógica. O professor deverá

oportunizar e estimular a autonomia da criança, respeitando e planejando

atividades educativas pertinentes e desafiadoras, sendo atento e cuidadoso

com relação a cada fase em que o estudante se encontra. Este é um princípio

educativo que demanda conhecimento sobre a criança e que não deve ser

apreendido só pelos professores, mas também pelos outros profissionais que

administram o pedagógico das várias instâncias da escola, só assim será

instalado um ambiente propício à mudança das práticas.

*2.1. A teoria interacionista e o conceito de número.**

*Como foram apresentados acima, os princípios da teoria interacionista

possibilitam ao professor compreender como ocorre a construção de conceitos

pela criança. Sendo que cada conceito só é formulado no momento em que o

sujeito tem estruturas cognitivas pertinentes ao mesmo, ao seja, uma criança

não classifica se não diferencia objetos. Acontece o mesmo com o conceito de

número. É necessário que o sujeito tenha construído algumas estruturas para

chegar a noção de número.

Nas sociedades modernas o número tem importância para a criança desde

pequena. Ela está imersa em situações onde o número se configura como

elemento cotidiano e significativo, como por exemplo, quantidade de irmãos,

brinquedos, bolas de gude, tampinhas, etc. Saber recitar a seqüência

numérica na base decimal, utilizada pelos adultos, é ato cultural esperado

em qualquer criança, mesmo a partir dos 2 anos, neste caso apenas recitar,

não tendo a noção do conceito de número.

Os registros históricos nos informam sobre as exigências da memória humana,

sendo que o número é encontrado em documentos e pictografias desde os tempos

primitivos pela necessidade de organizar as posses, os animais, o conjunto

de amostra (pedras, etc.). As marcas do tempo indicam como a humanidade foi

construindo e produzindo necessidades que requereram registrar e comunicar,

precisando de métodos mais precisos - como os sistemas de números.

Entendemos que o espaço infantil é subjetivo, portanto, os objetos nele

contidos inicialmente, não possuem formas definidas. Para definir os

elementos constituintes desse espaço é necessária uma organização com

estruturas lógicas, para ser alcançada pela criança. Processo esse que

emerge do seu corpo e do movimento que realiza no espaço que a circunda vez

que a criança interage com as diversas formas e materiais que encontra.

Para Derval (1998) o organismo que interage com o meio é constituído por

três estruturas: 1ª estruturas totalmente programadas - são aquelas já

previstas (por exemplo, o ciclo mestrual); 2ª estruturas parcialmente

programadas - já vêm no organismo, mas dependem do meio para se desenvolver

e a 3ª estruturas nada programadas - seriam as estruturas mentais, próprias

para o ato de conhecer, que dependerá exclusivamente da solicitação do meio.

Com essa crença, passou a ser fundamental compreender a abstração e seus

desdobramentos. Para Piaget (in Becker, 2001) o processo de abstração se

apresenta quando o sujeito age sobre as coisas e retira algo delas, ou sobre

as próprias ações. São tipos de abstrações segundo Becker:

1.Abstração empírica: "... agir sobre coisas e retirar dessas coisas, nas

suas características materiais observáveis, alguma coisa." (Becker, 2001, p.

38)

2.Abstração reflexionante: o sujeito age sobre o meio, as relações sociais,

os objetos produzindo ações e retira qualidades das coordenações das ações.

Ou seja, é a compreensão e não apenas a observação de algo. Esta abstração

desdobra-se em dois campos:

2.1.Abstração pseudo-empírica - relações entre os objetos e não nos objetos

em si mesmo;

2.2.abstração refletida - é a tomada de consciência pelo sujeito. O sujeito

se opõe a " um conjunto de ações qualquer, dobra-se sobre si mesmo e

apreende os mecanismos dessa ação própria." (supra, p. 40)

Essa compreensão facilita a apropriação de Piaget (in Kamii,1986) acerca da

construção do número. Kamii (1986, p.13) estudiosa de Piaget diz: " ..., o

número é construído por cada criança a partir de todos os tipos de relações

que ela cria entre os objetos." Mas, para isso, a criança precisa adquirir

conhecimentos considerados fundamentais que para Piaget são:

- Conhecimento físico - conhecimentos dos objetos é a realidade externa;

- Conhecimento social - são as convenções construídas pelas pessoas;

- Conhecimento lógico-matemático - são as coordenações das ações.

Com esses conhecimentos será proporcionada a construção do conceito de

número, pois este é produzido pela abstração reflexiva que nada mais é que a

condição de constituir relações entre os objetos na mente. Esclarece-nos

Kamii (1986, p.19):

O número, de acordo com Piaget, é uma síntese de dois tipos de relações que

a criança elabora entre os objetos (por abstração reflexiva). Uma é a ordem

e a outra é a inclusão hierárquica.

Quando a criança não tem construída essa estrutura mental de número, ela tem

como base o espaço, pois até construir esse conceito ela se baseia nos

objetos e acontecimentos no processo de interação com o meio. Mesmo sendo

considerada um mistério, a noção de número, como cita Kamii (1986), só é

possível no momento em que a criança passa a ter condições de colocar todos

os tipos de coisas em variados tipos de relações.

Essa autora explora três princípios de ensino: criação de todos os tipos de

relações; quantificação dos objetos; interação social com os colegas e os

professores.

Vale ressaltar que, como tantas outras estratégias criadas pelas crianças,

antes dos 7 anos a sua contagem é mais segura pela correspondência um a um,

configuração espacial copiada, como tantas outras estratégias criadas pelas

crianças.

Carreher (2001), estudiosa no campo da matemática, reafirma a importância

desta na vida cotidiana, vez que sua utilização nos possibilita organizar

objetos e eventos no mundo, dentre tantas outras coisas. É nesta perspectiva

que a autora questiona sobre as razões da não importância devida às

experiências trazidas pelo aluno em sua vida fora da escola na aprendizagem

da matemática:

... na sala de aula não estamos preocupados com situações particulares, mas

com regras gerais, que tendem a esvaziar o significado das situações. Perde

o significado também porque o que interessa à professora não é o esforço de

resolução do problema por um aluno, mas a aplicação de uma formula,...

(Carreher, 2001, p. 22)

Com a mesma compreensão, Duhalde e Cubere (1998)6 questionam sobre o ensino

da matemática afirmando que a mesma não pode ser entendido de forma

descontextualizada do vivenciado pelo aluno. Estas autoras vão de encontro

ao processo de acesso ao número pela maneira regular: conservação - seriação

- classificação, para elas, esses " ... são processos que se desenvolvem de

forma simultânea e paralela, podendo se produzir defasagens entre um e

outro." (supra, p. 37)

A contagem numérica para essas autoras passa por três etapas: 1ª " ...

caracteriza-se por uma aproximação global que se expressa exclusivamente de

forma oral; 2ª refere-se aos aspectos algorítmicos da escrita. As crianças

começam a descobrir as regras da sucessão oral e escrita. ...; 3ª observa-se

quando as crianças começam a construir agrupamentos de 10, ..." (Duhalde e

Cubere,1998, p. 49)

Segundo Duhalde e Cubere (1998), percebe-se que a criança aprendeu a contar,

quando estabelece a correspondência de um a um, isto é manter a ordem das

palavras numéricas; etiquetar cada objeto uma só vez sem omitir nenhum;

considerar que o último número mencionado representa a quantidade de total

de elementos do conjunto e que este é independente da ordem em que se

enumera os elementos.

*3. Considerações Finais**

*Este texto assume o princípio interacionista de que a criança aprende e se

desenvolve através do processo de desequilíbrio-reequilíbrio, ou seja,

quando ela se depara com uma situação desafiadora, ela se desequilibra busca

a solução para se equilibrar novamente. Neste momento, consciente de sua

prática o professor tem seu papel pedagógico mais relevante que é de

conduzir a aprendizagem como mediador e não detentor do saber.

As atividades propostas pelo professor devem estar ligadas com a realidade

do aluno, criando situações problemas para que os alunos busquem respostas.

Este professor deve estar atento a produção dos seus alunos, pois atividades

avançadas demais ou de menos não mobilizam na criança para a busca de

resultados. Devendo ser este profissional um criador constante.

Portanto, o professor deve ter cuidado e sensibilidade diante dos erros das

crianças, pois estes "manifestam características de pensamento." Derval

(1998, p.147). Entendemos que os erros não devem ser trabalhados mostrando

certezas, sim como o caminho que a criança percorreu para alcançar

determinado resultado. Nesse processo, o professor deve intervir propiciando

ambiente e materiais para que o estudante descubra onde ou o que está

errado. O professor deve ser o organizador das atividades, o mediador do

sujeito com o mundo que o circunda.

Sabe-se da complexidade da construção do conceito de número, mas essa

estrutura é produzida no momento que a criança é respeitada em sua

capacidade de desenvolvimento, como também devem ser valorizados e tomados

como pontos de partida os conhecimentos e as experiências que cada um

carrega.

4. Referências

1.Piaget, J. A epistemologia genética: Sabedoria e ilusões da filosofia;

Problemas de psicologia genética. São Paulo: Abril Cultural; 1978.

2.Becker, F. Educação e construção do conhecimento. Porto Alegre: ArtMed;

2001.

3.Derval, J. Crescer e pensar: a construção do conhecimento na escola. Porto

Alegre: ArtMed; 1998.

4.Kamii, C. A criança e o número: implicações educacionais da teoria de

Piaget para a atuação junto a escolares de 4 a 6 anos. 4ª ed. Campinas:

Papirus; 1986.

5.Carreher, T. Na vida dez, na escola zero. 11ª ed. São Paulo: Cortez; 2001.

6.Duhalde, Mª. E. e Cuberes, Mª T. Encontros iniciais com a matemática:

contribuições à educação infantil. Porto Alegre: ArtMed; 1998.

4.1. Outras referências consultadas:

Chizzotti, A. Pesquisa em ciências humanas e sociais. 4ª ed. São Paulo:

Cortez;2000.

Kamii, C. e Housman, L. B. Crianças pequenas reinventando a aritmética:

implicações da teoria de Piaget. 2ª ed. Porto Alegre: Artmed; 2002.

*Publicado em 07/05/2008 14:57:00*

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Juliana LaranjeiraPereira-

Psicopedagoga Clínica e Institucional e mestranda em Educação e

Contemporaneidade (UNEB-BA). Professora substituta da Universidade Estadual